在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
25
+
y2
9
=1，以及圓O：x2+y2=9，自橢圓上一點(diǎn)P，作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，直線MN在x軸與y軸的截距分別為a，b．
（1）若點(diǎn)P在第一象限且橫坐標(biāo)為4，求過點(diǎn)M，N，P的圓的方程；
（2）對于異于橢圓上頂點(diǎn)的任意點(diǎn)P，代數(shù)式
9
a2
+
25
b2
的值是否都恒為常數(shù)，并說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題設(shè)知P（4，
9
5
），由于MN為O的切點(diǎn)，得M，N在以O(shè)P為直徑的圓上，從而過點(diǎn)M，N，P的圓是以O(shè)P為直徑的圓，由此能求出過點(diǎn)M，N，P的圓的方程．
（2）設(shè)P（x0，y0），由（1）知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)滿足圓的方程：x2+y2-xx0-yy0=0，點(diǎn)M．N的坐標(biāo)滿足x2+y2=9，兩式相減得直線MN的方程：xx0+yy0=9，所以x0=
9
a
，y0=
9
b
，由此求出
9
a2
+
25
b2
=
25
9
．
解答： 解：（1）由題設(shè)知橢圓C：
42
25
+
y2
9
=1，解得y=±
9
5
．
∵P在第一象限，∴P（4，
9
5
），
由于M，N為O的切點(diǎn)，則有OM⊥MP，ON⊥NP，
∴M，N在以O(shè)P為直徑的圓上，
∴過點(diǎn)M，N，P的圓是以O(shè)P為直徑的圓，
于是有(x-
4
2
)2+(y-
9
5
2
)2=
42+(
9
5
)2
4
，
∴過點(diǎn)M，N，P的圓的方程為：(x-2)2+(y-
9
10
)2=
481
100
．
（2）設(shè)P（x0，y0），由（1）知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)滿足圓的方程：
(x-
x0
2
)2+(y-
y0
2
)2=
x02+y02
4
，即x2+y2-xx0-yy0=0，①
又點(diǎn)M，N在O上，點(diǎn)M．N的坐標(biāo)滿足x2+y2=9，②
②-①，得：xx0+yy0=9，
這就是直線MN的方程，截距為a=
9
x0
，b=
9
y0
，
∴x0=
9
a
，y0=
9
b
，
又點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，
(
9
a
)2
25
+
(
9
b
)2
9
=1，
∴
9
a2
+
25
b2
=
25
9
．
點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查代數(shù)式的值是否恒為常數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若cosB=
1
4
，
sinC
sinA
=2，且S△ABC=
15
4
，則b=（　　）
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)Ox，Oy為平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，
e1
，
e2
分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量
OP
=x
e1
+y
e2
，則把有序?qū)崝?shù)對（x，y）叫做向量
OP
在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)．已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．
（Ⅰ）求|
OP
|；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線l分別與x軸、y軸正方向交于點(diǎn)A，B，試確定A，B的位置，使△OAB的面積最小，并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，設(shè)bn=
an
3n
，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|ax＞1（a≠0）}，B={x|x2-1＞0}，若A⊆B，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為C的圓（x-1）2+y2=6內(nèi)有點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)．  
（1）當(dāng)l經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程． 
（3）當(dāng)△ACB的面積為
5
時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
|x|
x+2
-ax2，其中a∈R，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的焦點(diǎn)為F1（-
5
，0），P（
3
2
，
3
）為橢圓上一點(diǎn)，直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，1）．
（1）求橢圓的方程．
（2）求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是曲線C，滿足點(diǎn)P到點(diǎn)F（-4，0）的距離與它到直線l：x=-1的距離|PQ|之比為常數(shù)，又點(diǎn)（2，0）在曲線C上．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在直線y=kx-2與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M和N，且線段MN的中點(diǎn)為A（1，1）．若存在求出求實(shí)數(shù)k的值，若不存在說明理由．

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同步練習(xí)冊答案