Question

若函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²，其中a∈R，
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）當(dāng)a＞0時，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點；
（3）若函數(shù)f（x）有四個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

|x|-2x2(x+2)

x+2

，令|x|-2x²（x+2）=0，可得

x≥0 x-2x3-4x2=0

…①或

x＜0 -x-2x3-4x2=0

…②，然后解不等式組，求出函數(shù)f（x）的零點即可；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時，函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

x-ax3-2ax2

x+2

=

x(1-ax2-2ax)

x+2

，令f（x）=0，可得x（1-ax²-2ax）=0，解方程，求出函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的零點即可；
（3）函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²有四個不同的零點，①x=0時，f（0）=0，所以x=0是函數(shù)f（x）的一個零點；②當(dāng)x≠0時，可得y=

|x|

x2

與y=a（x+2）的圖象在平面直角坐標系中有3個不同的交點，分別畫出它們的圖象，判斷出a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

|x|-2x2(x+2)

x+2

，
令|x|-2x²（x+2）=0，
可得

x≥0 x-2x3-4x2=0

…①或

x＜0 -x-2x3-4x2=0

…②，
由①可得 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1；
由②可得x=

2

2

-1，
綜上，當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）的零點為x=0，x=

6

2

+1，x=

6

2

-1或x=

2

2

-1；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時，
函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²=

x-ax3-2ax2

x+2

=

x(1-ax2-2ax)

x+2

，
令f（x）=0，
可得x（1-ax²-2ax）=0，
解得x=-1+

2

，x=0（舍去），或x=-1-

2

（舍去），
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點x=-1+

2

；
（3）函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

-ax²有四個不同的零點，
①x=0時，f（0）=0，所以x=0是函數(shù)f（x）的一個零點；
②當(dāng)x≠0時，可得y=

|x|

x2

與y=a（x+2）的圖象在平面直角坐標系中有3個不同的交點，
分別畫出它們的圖象如下：
當(dāng)y=a（x+2）與y=-

1

x

相切時，a=1，
所以若函數(shù)f（x）有四個不同的零點，求a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．