Question

已知直線l：mx-2y+2m=0（m∈R）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓C的離心率為

2

2

，連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當m=2時，設(shè)直線l與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，求線段PM長度的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由離心率e=

2

2

，2ab=2

2

，能求出橢圓標準方程．
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．由此利用根的判別式能求出-

2

＜m＜

2

．
（3）直線l為：x-y+2=0，P（0，2），設(shè)M（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，則|PM|²=x²+（y-2）²=-（y+2）²+10，由-1≤y≤1，能求出|MP|最大值．

解答： 解：（1）由離心率e=

2

2

，得b=c=

2

2

a，
又因為2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1，
所以橢圓標準方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）由 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．
所以△=4m4-4(1+

m2

2

)(2m2-2)＞0，可化為m²-2＜0，
解得-

2

＜m＜

2

．（9分）
（3）由（2）得直線l為：x-y+2=0，
設(shè)x=0，則y=2，所以P（0，2）．（11分）
設(shè)M（x，y）滿足

x2

2

+y2=1，
則|PM|²=x²+（y-2）²=2-2y²+（y-2 ）²=-y²-4y+6
=-（y+2）²+10，（13分）
因為-1≤y≤1，
所以當y=-1時，|MP|取最大值3．（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查線段長的最大值的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式和配方法的合理運用．