Question

設等比數列{a_n}中，公比q≠1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

．
（1）用a₁，q，n表示

Sn

Tn

；
（2）若-

3S1

T1

，

S3

T3

，

S5

T5

成等差數列，求q；
（3）在（2）的條件下，設a₁=1，R_n=

1

a1

+

2

a3

+…+

n

a2n-1

，求證：R_n＜

9

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由等比數列的前n項和分別求出S_n，T_n，代入

Sn

Tn

得答案；
（2）由（1）中結論結合-

3S1

T1

，

S3

T3

，

S5

T5

成等差數列得到關于q的方程，解方程得答案；
（3）由（2）中求得的q得到a_2n-1的通項公式，代入R_n=

1

a1

+

2

a3

+…+

n

a2n-1

，利用錯位相減法求得R_n，則結論得證．

解答： （1）解：S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
而{

1

an

}是以

1

a1

為首項，

1

q

為公比的等比數列，
∴Tn=

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

=

qn-1

a1qn-1(q-1)

=

Sn

a12qn-1

，
∴

Sn

Tn

=a₁²q^n-1；
（2）解：由-

3S1

T1

，

S3

T3

，

S5

T5

成等差數列，得：-3a₁²，a₁²q²，a₁²q⁴成等差數列，
∴2a₁²q²=-3a₁²+a₁²q⁴，
∵a₁≠0，
∴q⁴-2q²-3=0，
∵q²＞0，
∴q²=3，q=±

3

；
（3）證明：∵a₁=1，q²=3，
∴a_2n-1=a₁q^2n-2=（q²）^n-1=3^n-1，
∴Rn=

1

1

+

2

3

+

3

32

+…+

n

3n-1

，

1

3

Rn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，
兩式相減，得

2

3

Rn=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-

n

3n

=

3

2

-

3

2

•

1

3n

-

n

3n

．
∴Rn=

9

4

-

9

4

•

1

3n

-

3

2

•

n

3n

＜

9

4

．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列的前n項和，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．