設(shè)等比數(shù)列{an}中,公比q≠1,Sn=a1+a2+…+an,Tn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an

(1)用a1,q,n表示
Sn
Tn

(2)若-
3S1
T1
,
S3
T3
,
S5
T5
成等差數(shù)列,求q;
(3)在(2)的條件下,設(shè)a1=1,Rn=
1
a1
+
2
a3
+…+
n
a2n-1
,求證:Rn
9
4
考點:數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由等比數(shù)列的前n項和分別求出Sn,Tn,代入
Sn
Tn
得答案;
(2)由(1)中結(jié)論結(jié)合-
3S1
T1
,
S3
T3
,
S5
T5
成等差數(shù)列得到關(guān)于q的方程,解方程得答案;
(3)由(2)中求得的q得到a2n-1的通項公式,代入Rn=
1
a1
+
2
a3
+…+
n
a2n-1
,利用錯位相減法求得Rn,則結(jié)論得證.
解答: (1)解:Sn=
a1(1-qn)
1-q

而{
1
an
}是以
1
a1
為首項,
1
q
為公比的等比數(shù)列,
Tn=
1
a1
[1-(
1
q
)
n
]
1-
1
q
=
qn-1
a1qn-1(q-1)
=
Sn
a12qn-1
,
Sn
Tn
=a12qn-1;
(2)解:由-
3S1
T1
,
S3
T3
S5
T5
成等差數(shù)列,得:-3a12,a12q2,a12q4成等差數(shù)列,
∴2a12q2=-3a12+a12q4
∵a1≠0,
∴q4-2q2-3=0,
∵q2>0,
∴q2=3,q=±
3
;
(3)證明:∵a1=1,q2=3,
∴a2n-1=a1q2n-2=(q2n-1=3n-1,
Rn=
1
1
+
2
3
+
3
32
+…+
n
3n-1
,
1
3
Rn=
1
3
+
2
32
+
3
33
+…+
n
3n
,
兩式相減,得
2
3
Rn=1+
1
3
+
1
32
+…+
1
3n-1
-
n
3n
=
1-(
1
3
)
n
1-
1
3
-
n
3n
=
3
2
-
3
2
1
3n
-
n
3n

Rn=
9
4
-
9
4
1
3n
-
3
2
n
3n
9
4
點評:本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的前n項和,訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

點M、N分別是△OAB的邊OA、OB上的點,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
(1)若M、N分別是OA、OB的中點,線段AN與BM的交點為P,試用
a
,
b
表示
OP
;
(2)若|
OM
|:|
OA
|=1:4,|
ON
|:|
OB
|=1:5,線段AN與BM交于點Q,試用
a
b
表示
OQ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的長軸的一個端點為A(2,0),離心率為
2
2
.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點B、D
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在這樣的直線,使得△ABD的面積為
10
3
,若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計算:
25
9
-(
8
27
 
1
3
-(π+e)0+(
1
4
 -
1
2
;
②2lg5+lg4+ln
e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD是正方形空地,邊長為30m,電源在點P處,點P到邊AD、AB距離分別為9m,3m.某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF,MN:NE=16:9.線段MN必須過點P,端點M,N分別在邊AD,AB上,設(shè)AN=x(m),液晶廣告屏幕MNEF的面積為S(m2).
(1)用x的代數(shù)式表示AM,并寫出x的取值范圍;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用max{a,b}表示a、b兩個數(shù)中最大那個,設(shè)f(x)=|x+1|,g(x)=-x2-4x-1,函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)},若方程h(x)-m=0有四個不同的實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.
(1)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?
(2)從這些畫中任選出兩幅不同畫種的畫布置房間,有幾種不同的選法?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點M(
3
,
1
2
),點P在橢圓C上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左、右焦點,∠F1PF2的最大值為120°.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P(x0,y0)(x0≠0)作圓x2+y2=1的兩條切線,分別切于A,B兩點,直線AB與橢圓C交于M,N兩點,求△OMN面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

同時拋兩枚硬幣10次,記兩枚硬幣出現(xiàn)不同面的次數(shù)為X,則D(X)=
 

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同步練習(xí)冊答案