Question

設(shè)D={（x+y）|

x≤3 y≤3 x+y≥5

}，若P∈D，有且只有一條直線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），使得該直線與曲線f（x）=

1

2

asinx在原點(diǎn)處相切，則a的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  3

  ，

  3

  2

  ]
• B、[

  4

  3

  ，3]
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• D、[

  4

  3

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：作出D={（x，y）|

x≤3 y≤3 x+y≥5

}，結(jié)合圖形可知直線OP的斜率的取值范圍是k_OP∈[

2

3

，

3

2

]，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求f′（0）=

1

2

a，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：D={（x，y）|

x≤3 y≤3 x+y≥5

}，區(qū)域D如圖所示．
于是直線OP的斜率的取值范圍是k_OP∈[

2

3

，

3

2

]，
由f（x）=

1

2

asinx，可得f′（x）=

1

2

acosx，
∴f′（0）=

1

2

a．
∵有且只有一條直線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），使得該直線與曲線f（x）=

1

2

asinx在原點(diǎn)處相切，
∴

1

2

a∈[

2

3

，

3

2

]，
∴a∈[

4

3

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用，考查內(nèi)容比較新穎，屬于中檔題．