Question

對于點集A={（x，y）|x=m，y=a（x²-x+1），m∈N₊}，B={（x，y）|x=n，y=-2x²+x+1，n∈N₊}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠∅，若存在，求出a的值及A∩B，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：根據(jù)集合關(guān)系，結(jié)合集合的基本運算進(jìn)行求解即可．

解答： 解析：是否存在非零整數(shù)a使A∩B≠?，取決于方程a（x²-x+1）=-2x²+x+1是否有正整數(shù)解，即關(guān)于（a+2）x²-（a+1）x+a-1=0至少有一個正整數(shù)根.3分
由△=（a+1）²-4（a+2）（a-1）≥0，
解得

-1-2 7

3

≤a≤

-1+2 7

3

.6分
因為a為非零整數(shù)，所以a的可能取值為-2，-1，1.7分
當(dāng)a=-2時，解得x=3符合題意.8分
當(dāng)a=-1時，解得x=±

2

與x∈N₊不符，9分
當(dāng)a=1時，解得x₁=0，x₂=

2

3

這也與x∈N₊不符.10分
綜上可知，存在a=-2，使A∩B≠?，此時A∩B={（3，-14）}.12分．

點評：本題主要考查集合的基本運算，根據(jù)A∩B≠∅，求出a是解決本題的關(guān)鍵．