Question

設(shè)定義在R的函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=-f（x+1）；③當0≤x≤1時，f（x）=2^x-1．則 f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可知函數(shù)y=f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，于是可得f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=f（

1

2

），再利用當0≤x≤1時，f（x）=2^x-1即可求得答案．

解答： 解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即定義在R的函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
f（0）=0；
又f（x）=-f（x+1），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴f（2）=f（0），f（

5

2

）=f（

1

2

），f（

3

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）；
∵當0≤x≤1時，f（x）=2^x-1，
∴f（

1

2

）=

2

-1，
∴f（

1

2

）+f（

3

2

）+f（2）+f（

5

2

）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）+f（0）+f（

1

2

）=f（

1

2

）=

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，著重考查等價轉(zhuǎn)化的思想與運算求解的能力，屬于中檔題．