Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N^*），則S₁₀₀=（　�。�

• A、2100
• B、2600
• C、2800
• D、3100

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)相等都等于a₁，所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以a₂為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則S₁₀₀可求．

解答： 解：由a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，得a₃-a₁=0，即a₃=a₁；
當(dāng)n=2時(shí)，得a₄-a₂=2，
由此可得，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
a_n=a₁；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
an=2×

n-2

2

+a2，
∴S₁₀₀=a₁+a₂+…+a₁₀₀
=（a₁+a₃+…+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）
=50a₁+[a₂+（a₂+2）+（a₂+4）+…+（a₂+98）]
=50+50a₂+（2+4+…+98）
=150+

(2+98)×49

2

=150+50×49
=150+2450
=2600．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．