Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為  

x= 3 coxα y=sinα

（α為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動點，求點P到C₂上點的距離的最小值，并求此時點P坐標(biāo)．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：計算題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（

3

cosα，sinα），則P到直線的距離為d，運用點到直線的距離公式和兩角和的正弦公式以及正弦函數(shù)的值域即可得到最小值．

解答： 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），
則由sin²α+cos²α=1化為

x2

3

+y²=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=4

2

，
即有ρsinθcos

π

4

+ρcosθsin

π

4

=4

2

，即為直線x+y-8=0；
（2）設(shè)P（

3

cosα，sinα），則P到直線的距離為d，
則d=

| 3 cosα+sinα-8|

2

=

|2sin(α+ π 3 )-8|

2

，
則當(dāng)sin（α+

π

3

）=1，此時α=2kπ+

π

6

，k為整數(shù)，
P的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），距離的最小值為

|2-8|

2

=3

2

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬中檔題．