Question

已知函數(shù)f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，且滿足f（2）=3
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x）-mx，若g（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）滿足f（2）=6k+9=3，求得 k=-1，從而得到 f（x）的解析式．
（2）根據(jù)f（x）=-（x-1）²+4，x∈[-1，4]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值．
（3）根據(jù)函數(shù)g（x）=-x²+（2-m）x+3 的圖象的對稱軸方程為x=1-

m

2

，g（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，可得1-

m

2

≥2，或1-

m

2

≤-2，由此求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，且滿足f（2）=6k+9=3，可得 k=-1，
∴f（x）=-x²+2x+3．
（2）∵f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈[-1，4]，∴當x=1時，函數(shù)取得最大值為4；
當x=4時，函數(shù)取得最小值為-5．
（3）由于函數(shù)g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3 的圖象的對稱軸方程為x=1-

m

2

，
若g（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，則1-

m

2

≥2，或1-

m

2

≤-2，
求得m≤-2，或m≥6，即實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤-2，或m≥6}．

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬基礎題．