Question

已知函數f（x）=

1

(x+1)2

．若f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由已知得到f（x）+f（

1

x

）=

1

1+ 2x x2+1

，然后對x分類后求得其最小值，即可得到滿足f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立的m的最大值．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

(x+1)2

，得
f（x）+f（

1

x

）=

1

(x+1)2

+

1

( 1 x +1)2

=

x2+1

(x+1)2

．
令g（x）=

x2+1

(x+1)2

=

x2+1

x2+1+2x

=

1

1+ 2x x2+1

．
當x=0時，g（x）=1；
當x≠0時，g（x）=

1

1+ 2 x+ 1 x

，
若x＞0，則x+

1

x

≥2，∴g（x）∈[

1

2

，1）；
若x＜0且x≠-1，則x+

1

x

＜-2，∴g（x）∈（1，+∞）．
∴g（x）∈[

1

2

，+∞）．
由f（x）+f（

1

x

）≥m恒成立，得m≤

1

2

，
∴m的最大值為

1

2

．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了利用基本不等式求最值，解答此題的關鍵是正確分類，是中檔題．