Question

在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以O(shè)B為直徑的圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=4，判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)P（ρ，θ）是所求圓上的任意一點(diǎn)，由于OB為直徑，可得∠OPB=90°，ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，展開(kāi)化簡(jiǎn)再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方為（x-1）²+（y-1）²=2，可得圓C的圓心的坐標(biāo)為（1，1），半徑為

2

，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)P（ρ，θ）是所求圓上的任意一點(diǎn)，
∵OB為直徑，∴∠OPB=90°，
則OP=OBcos(

π

4

-θ)，即ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)，
亦即x²+y²-2x-2y=0，
故所求的圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y=0．
（2）由x²+y²-2x-2y=0配方為（x-1）²+（y-1）²=2，
圓C的圓心的坐標(biāo)為（1，1），半徑為

2

，
直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4，
圓心到直線(xiàn)距離d=

|1+1-4|

2

=

2

，
∴直線(xiàn)與圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系判定，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．