Question

已知有窮數(shù)列{a_n}各項均不相等，將{a_n}的項從大到小重新排序后相應(yīng)的項數(shù)構(gòu)成新數(shù)列{p_n}，稱{p_n}為{a_n}的“序數(shù)列”．例如數(shù)列：a₁，a₂，a₃滿足a₁＞a₃＞a₂，則其序數(shù)列{p_n}為1，3，2．
（1）若x，y∈R⁺，x+y=2且x≠y，寫出數(shù)列：1，xy，

x2+y2

2

的序數(shù)列并說明理由；
（2）求證：有窮數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{p_n}為等差數(shù)列的充要條件是有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列；
（3）若項數(shù)不少于5項的有窮數(shù)列{b_n}、{c_n}的通項公式分別是bn=n•(

3

5

)n（n∈N^*），c_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序數(shù)列與{c_n}的序數(shù)列相同，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用x+y=2且x≠y，通過二次函數(shù)的值域，以及不等式的最值，比較1，xy，

x2+y2

2

的大小，即可得到序數(shù)列．
（2）通過證明充分性和必要性，兩個方面證明有窮數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{p_n}為等差數(shù)列的充要條件是有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列．
（3）利用數(shù)列的表達(dá)式，說明當(dāng)n=1時，b₂＞b₁，當(dāng)n≥2時，b_n+1＜b_n，推出b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，得到數(shù)列{b_n}的序數(shù)列為2，3，1，4，…，n．然后利用數(shù)列{c_n}結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，推出4＜t＜5．

解答： 解：（1）因為x+y=2且x≠y，
所以xy=x（2-x）=-（x-1）²+1＜1，…..2’．

x2+y2

2

=

x2+(2-x)2

2

=(x-1)2+1＞1…..4’
故數(shù)列1，xy，

x2+y2

2

的序數(shù)列3，1，2；…..5’
（2）充分性：因為數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列時，a₁＞a₂＞…＞a_n或a₁＜a₂＜…＜a_n，
所以其序數(shù)列為1，2，…，n-1，n或n，n-1，…，2，1均為等差數(shù)列；…..8’
必要性：當(dāng)數(shù)列{a_n}的序數(shù)列為等差數(shù)列時，其序數(shù)列必為1，2，…，n-1，n或n，n-1，…，2，1，
所以有a₁＞a₂＞…＞a_n或a₁＜a₂＜…＜a_n，
所以數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列；…..11’
（3）因為bn+1-bn=(

3

5

)n•

3-2n

5

，…..13’
當(dāng)n=1時，易得b₂＞b₁，當(dāng)n≥2時，b_n+1＜b_n，
又因b1=

3

5

，b3=3•(

3

5

)3，b4=4•(

3

5

)4，b₄＜b₁＜b₃，
即b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，
故數(shù)列{b_n}的序數(shù)列為2，3，1，4，…，n，…..16’
所以對于數(shù)列{c_n}有c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞…＞c_n，c_n=-n²+tn（n∈N^*），
可得2＜

t

2

＜

5

2

，解得：4＜t＜5…..18’

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的最值以及性質(zhì)，不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．