Question

18．已知△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，C=$\frac{π}{4}$，且2sin²A-1=sin²B．
（1）求tanB的值；
（2）若b=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin2B=sin²B，結(jié)合sinB≠0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanB的值．
（2）由tanB=2，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB，sinB，sinA的值，由正弦定理可求a，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由2sin²A-1=sin²B，知-cos2A=sin²B，
又∵$A=π-（B+C）=\frac{3π}{4}-B$，
∴$-cos2（\frac{3π}{4}-B）={sin^2}B$，
即∴sin2B=sin²B，…（4分）
又sinB≠0，
∴2cosB=sinB，故tanB=2．…（5分）
（2）由tanB=2知，B為銳角，且$cosB=\frac{1}{{\sqrt{1+{{tan}^2}B}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
則$sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（8分）
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴$a=\frac{sinB}•sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{2}•\frac{{3\sqrt{10}}}{10}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，…（10分）
∴△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{8}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．