Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②$x_1^2＞x_2^2$；③|x₁|＞x₂，④$x_1^2＜x_2^2$其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是序號是②．

Answer 1

分析 利用導數(shù)可以判定其單調性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結論．

解答 解：∵f′（x）=2x+sinx，
∴當x=0時，f′（0）=0；當x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調遞減；
當x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，都有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
根據(jù)以上結論可得：
①當x₁＞x₂時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|，則f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③當|x₁|＞x₂時，則f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④當$x_1^2＜x_2^2$時，得|x₁|＜|x₂|，則f（|x₁|）＜f（|x₂|）?f（x₁）＜f（x₂）恒成立；
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是②，
故答案為：②．

點評 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關鍵．