Question

已知拋物線y²=4x，焦點為F，點A（-3，0）．
（1）過點A的直線與拋物線只有一個交點的直線有幾條，并寫出直線方程；
（2）過焦點的直線l與拋物線相交于B、C兩點，且

BF

=2

FC

，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）當(dāng)過點A的直線經(jīng)過F，則與拋物線只有一個交點；當(dāng)過點A的直線與拋物線相切，則與拋物線只有一個交點，設(shè)方程為：y=k（x+3），聯(lián)立拋物線方程，消去y，由判別式為0，解出k即可得到直線方程；
（2）設(shè)過焦點的直線l：y=k（x-1），聯(lián)立拋物線方程，消去y，運用韋達定理，判別式大于0，再由向量的坐標運算，得到方程，消去x₁，x₂得到k的方程，解出k，檢驗即可得到直線方程．

解答： 解：（1）當(dāng)過點A的直線經(jīng)過F，則與拋物線只有一個交點，方程為y=0．
當(dāng)過點A的直線與拋物線相切，則與拋物線只有一個交點，
設(shè)方程為：y=k（x+3），聯(lián)立拋物線方程，消去y，
得到：k²x²+（6k²-4）x+9k²=0，
由△=0，即（6k²-4）²-36k⁴=0，解得，k=±

3

3

．
故所求直線有3條，方程為：x=0，或y=±

3

3

（x+3）；
（2）設(shè)過焦點的直線l：y=k（x-1），
聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
則△=（2k²+4）²-4k⁴＞0①
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
又

BF

=2

FC

，則1-x₁=2（x₂-1），
則消去x₁，x₂得到k的方程：（k²-4）（k²+8）=k⁴，
解得，k²=8，即有k=±2

2

．
代入①檢驗成立，
則直線l的方程為：y=±2

2

（x-1）．

點評：本題考查拋物線方程及運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，以及向量的運算，考查運算能力，屬于中檔題．