Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=3，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC₁，BB₁上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積；
（2）點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積就是三個(gè)側(cè)面面積：3×2×3，+兩個(gè)底面面積：2×

1

2

×2×2×sin

π

3

；
（2）因?yàn)镋C=2FB，所以容易想到取EC中點(diǎn)N，并且使M是AC中點(diǎn)，連接MN，BN，便可得到MN∥AE，BN∥EF，所以根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理即可得出平面BMN∥平面AEF，所以得到BM∥平面AEF．所以便得出當(dāng)M在AC中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEF．

解答： 解：（1）S_表=2×

1

2

×2×2×sin

π

3

+3×2×3=18+2

3

； 
（2）M為AC中點(diǎn)時(shí)BM∥平面AEF，證明如下：
如圖，取EC的中點(diǎn)N，連接MN，BN；

∵M(jìn)、N分別為AC、EC中點(diǎn)，∴MN∥AE，AE?平面AEF，MN?平面AEF；
∴MN∥平面AEF；
∵EC=2FB，∴EN=FB，且EN∥FB；
∴四邊形BFEN為平行四邊形，∴BN∥EF，EF?平面AEF，BN?平面AEF；
∴BN∥平面AEF，MN∩BN=N；
∴平面BMN∥平面AEF，BM?平面BMN；
∴BM∥平面AEF．

點(diǎn)評(píng)：考查三棱柱的表面積的概念及求法，中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，以及面面平行時(shí)其中一平面上的直線和另一平面的關(guān)系．