【題目】平面上有奇數(shù)條線(xiàn)段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設(shè)定方向的線(xiàn)段設(shè)定一個(gè)方向，直至某次（甲）設(shè)定后，所有線(xiàn)段各有了一個(gè)方向?yàn)橹?如果最后得到的所有向量之和的模長(zhǎng)不小于原來(lái)每條線(xiàn)段長(zhǎng)，則甲獲勝，否則乙獲勝.問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略？證明你的結(jié)論.

【答案】甲有必勝策略.

【解析】

若只有1條線(xiàn)段，顯然，甲獲勝.

下面設(shè)線(xiàn)段總條數(shù)為，不妨設(shè)在所給線(xiàn)段中，最長(zhǎng).

設(shè)在上的投影長(zhǎng)度為，不妨設(shè)，.

甲可采取如下策略取勝：

首先，任給線(xiàn)段設(shè)一個(gè)方向，并把余下線(xiàn)段配成組，以后，乙每設(shè)定一條線(xiàn)段的方向，甲就設(shè)定同一組另一條線(xiàn)段的方向，并保證對(duì)于，與反向；與同向.

于是，最后得到的所有向量之和在上的投影長(zhǎng)或其相反數(shù)為

.

故為投影長(zhǎng)（而非相反數(shù)）且.

于是，最后所有向量之和的模長(zhǎng)大于或等于，進(jìn)而，大于或等于原來(lái)每條線(xiàn)段長(zhǎng).

因此，甲將獲勝.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(12分) 由0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字。

（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

（3）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)？

（4）組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某品牌經(jīng)銷(xiāo)商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪(fǎng)男性和女性用戶(hù)各50名，其中每天玩微信超過(guò)6小時(shí)的用戶(hù)列為“微信控”，否則稱(chēng)其為“非微信控”，調(diào)查結(jié)果如下：

微信控

非微信控

合計(jì)

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計(jì)

56

44

100

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？

（2）現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶(hù)中按分層抽樣的方法選出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數(shù)；

（3）從（2）中抽取的5位女性中，再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，試求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.

參考公式: ，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知，，，曲線(xiàn)段是以點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在、上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線(xiàn)段上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有2012位學(xué)者參加某數(shù)學(xué)會(huì)議，他們中有些人相互認(rèn)識(shí)，且滿(mǎn)足：

（1）每個(gè)人至少認(rèn)識(shí)其中的671個(gè)人；

（2）對(duì)于其中任意兩個(gè)人、，若、相互不認(rèn)識(shí)，則總可以通過(guò)其他人間接認(rèn)識(shí)，即存在，使得認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)；

（3）不可以將2012位學(xué)者排成一排，使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識(shí).

證明：可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識(shí)，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識(shí).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）①證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)；

②求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立.

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，某班級(jí)建立了數(shù)學(xué)英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組，兩組的人數(shù)如下表所示：

組別

性別

數(shù)學(xué)

英語(yǔ)

男

5

1

女

3

3

現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試.

（1）求從數(shù)學(xué)組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；

（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為實(shí)參數(shù)．求所有的數(shù)對(duì)，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個(gè)零點(diǎn)．

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