Question

【題目】已知函數，其中，為實參數．求所有的數對，使得函數在區(qū)間內恰好有2011個零點．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先，函數以為周期，且以為對稱軸，即，．其次，，

，．

因為，關于對稱，所以，在及上

的零點個數為偶數．

要使在區(qū)間內恰有2011個零點，則上述區(qū)間端點必有零點．

（1）若，則，．

考慮區(qū)間及上的零點個數．

當時，．

令．則．

解得（舍），．故在內有兩解． ’

當時，．

解得（舍），（舍）．故在內無解．

因此，在區(qū)間內有三個零點．

故在內有個零點．解得．

（2）若，則，，．

當時，．

令．則．

解得，（舍）．故在內有一解．

當時，．

令．則，在內無解．

故在區(qū)間內只有一個零點．

于是，在內有個零點．

（3）若，則，，．

同（2）討論，知在區(qū)間內只有一個零點．

故在內有個零點．

綜上，滿足條件的，，．