Question

已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-2|x-

1

2

|，當(dāng)x∈（-∞，-1]，f（x）=1-e^-1-x，若關(guān)于x的不等式（x+m）＞f（x）有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，+∞）
• C、{-

  1

  2

  ，-ln2，-1}∪（0，+∞）
• D、{-

  1

  2

  ，-ln2，0}∪（0，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的解析式，然后作出函數(shù)的圖象，對(duì)m進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可．

解答： 解：若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
則f（-x）=1-2|-x-

1

2

|=1-2|x+

1

2

|，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=1-2|x+

1

2

|=-f（x），
則f（x）=2|x+

1

2

|-1，x∈[-1，0]，
若x∈[1，+∞），則-x∈（-∞，-1]，
則f（-x）=1-e^-1+x=-f（x），
則f（x）=e^-1-x-1，x∈[1，+∞），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)m＞0時(shí)，x+m＞x，此時(shí)當(dāng)x≥1時(shí)，不等式成立．
當(dāng)m＜0時(shí)，x+m＜x，
①當(dāng)x≥1時(shí)，有1+m≤x+m，不等式有解只需要1+m＞0即可，解得m＞-1，
②當(dāng)0≤x＜1時(shí)，有m≤x+m＜1+m，不等式有解，只需1+m＞0即可，解得m＞-1，
③當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，有m-1＜x+m＜m，不等式有解，只需m＞-1即可，
④當(dāng)x≤-1時(shí)，有x+m＜m-1＜-1，此時(shí)不等式一定無解，
綜上m的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞），
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．