設雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩條漸近線于M，N兩點，且與雙曲線在第二象限的交點為P，設O為坐標原點，若
OP
=m
OM
+n
ON
（m，n∈R），且mn=
1
8
，則雙曲線的離心率為
 
．
考點：雙曲線的簡單性質
專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：由方程可得漸近線，可得M，N，P的坐標，由已知向量式可得m+n=1，m-n=
b
c
，解之可得m，n的值，由mn=
1
8
，可得a，c的關系，由離心率的定義即可得到．
解答： 解：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線為：y=±
b
a
x，
設左焦點F（-c，0），
則M（-c，
bc
a
），N（-c，-
bc
a
），P（-c，
b2
a
），
因為
OP
=m
OM
+n
ON
（m，n∈R），
所以（-c，
b2
a
）=（-（m+n）c，（m-n）
bc
a
），
所以m+n=1，m-n=
b
c
，
解得：m=
c+b
2c
，n=
c-b
2c
，
又由mn=
1
8
，得：
c2-b2
4c2
=
1
8
，
解得：
a2
c2
=
1
2
，
所以，e=
c
a
=
2
．
故答案為：
2
．
點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的離心率的求解，同時考查平面向量的基本定理及運用，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=log
1
2
sin（2x-
π
3
）的增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）為奇函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=1-2|x-
1
2
|，當x∈（-∞，-1]，f（x）=1-e-1-x，若關于x的不等式（x+m）＞f（x）有解，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A、（-1，0）∪（0，+∞）
B、（-2，0）∪（0，+∞）
C、{-
1
2
，-ln2，-1}∪（0，+∞）
D、{-
1
2
，-ln2，0}∪（0，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求證：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
5x+3y≤15
y≤x+1
x-5y≤3
表示的平面區(qū)域的面積為（　　）
A、14B、5C、3D、7

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+2x，-2≤x≤0
ln
1
x+1
，		0＜x≤2
，若g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（0，
1
e
）
B、（0，
1
2e
）
C、[
ln3
3
，
1
e
）
D、[
ln3
3
，
1
2e
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1，
OB
+
OC
+
OD
=
0
，A（1，1），則
AD
•
OB
的取值范圍（　�。�
A、[-1-
2
，
2
-1]
B、[-
1
2
-
2
，-
1
2
+
2
]
C、[
1
2
-
2
，
1
2
+
2
]
D、[1-
2
，1+
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若∠A=120°，AB=1，BC=
13
，
BD
=
1
2
DC
，則AC=
 
；AD=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列an的通項公式為an=n2+n，則數(shù)列
1
an
的前10項和為
 
．

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