Question

如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=4，D、E分別為AC、AB邊的中點(diǎn)．將△ADE沿DF折起，使二面角A-DE-C的余弦值為

1

3

，求：
（Ⅰ）四棱錐A-BCDE的體積；
（Ⅱ）二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AC，DE⊥DC，從而DE⊥平面ADC，進(jìn)而平面ADC⊥平面CBED，過點(diǎn)A作AM⊥CD，則AM⊥面CBED，由此能求出V_A-BCDE．
（Ⅱ）由已知得ME⊥BE，從而BE⊥平面AME，BE⊥AE，∠AEM為二面角A-BE-C的平面角，由此能求出二面角A-BE-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵D，E是邊AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴DE⊥AC，
∵DE⊥AD，DE⊥DC，AD∩DC=D，
∴DE⊥平面ADC，
∴平面ADC⊥平面CBED，
過點(diǎn)A作AM⊥CD，則AM⊥面CBED，
∵∠ADC為二面角A-DE-C的平面角，∴cos∠ADC=

1

3

，（3分）
AM=

2 6

3

，DM=

3

3

，
∴V_A-BCDE=

1

3

×

2 6

3

×

3 3

2

=

2

．（6分）
（Ⅱ）∵DE=1，DM=

3

3

，∴EM=

2 3

3

，
∵M(jìn)C=

2 3

3

，BC=2，∴BM=

4 3

3

，BE=2，
BM²=EM²+BE²，∴ME⊥BE，
∵AM⊥BE，AM∩ME=M，
∴BE⊥平面AME，
∴BE⊥AE．（10分）
∴∠AEM為二面角A-BE-C的平面角，
∴cos∠AEM=

MB

AE

=

3

3

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查四棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．