定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；
（3）求證：.

（1）當(dāng)時(shí),無(wú)單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一；
（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)求導(dǎo)，對(duì)分情況討論；
(2)研究方程的解的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)的圖象.通過(guò)求導(dǎo)，弄清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)值的范圍，結(jié)合圖象即可知道方程的解的個(gè)數(shù).
(3)將所要證明的不等式與題中函數(shù)聯(lián)系起來(lái)看，應(yīng)該考查的3階函數(shù)，且令，即.將這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)得.由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 這樣可得的最大值，從而得到所要證明的不等式.
試題解析：(1),
令,當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),無(wú)單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為單減區(qū)間為.
當(dāng)時(shí),的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.           4分.
(2)由當(dāng)時(shí),方程無(wú)解.當(dāng)時(shí),
令則由得
從而在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),，當(dāng)
當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)不同解.
當(dāng),即時(shí),方程有0個(gè)解
當(dāng),或即或時(shí),方程有唯一解.
綜上,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí),方程有唯一解. 9分.
(3)特別地，當(dāng)時(shí)
由得.
由得
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
即.又時(shí),   &

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且.
（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)．如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線相切于點(diǎn)M.A為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為B．市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：)，(單位：弧度）．

(I)將S表示為的函數(shù)；
(II)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N，切曲線于點(diǎn)P，設(shè)．

(I)將（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此時(shí)a的值及S(t)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.
（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值范圍；
（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，（）,證明：．

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