某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設(shè)．

(I)將（O為坐標(biāo)原點）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

（Ⅰ）；（Ⅱ）時,.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的斜率為在的導(dǎo)函數(shù)值，從而得到直線的方程為；進(jìn)一步通過確定縱、橫截距，計算三角形的面積.
（Ⅱ）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定最值”. 注意到本題駐點唯一，其必是“最值點”.
試題解析：Ⅰ），直線的斜率為，
直線的方程為
令得  3分
令,得,
的面積,             6分

（Ⅱ）,
因為,由,得,            9分
當(dāng)時, ,
當(dāng)時, .
已知在處, ,故有，
故當(dāng)時,               13分
考點：生活中的優(yōu)化問題舉例，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N*，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根？
若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任取，求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率．

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已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的極值點；
（2）若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

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定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個數(shù)；
（3）求證：.

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已知a為給定的正實數(shù)，m為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax3－3(m＋a)x2＋12mx＋1．
(Ⅰ)若f(x)在(0，3)上無極值點，求m的值；
(Ⅱ)若存在x0∈(0，3)，使得f(x0)是f(x)在[0，3]上的最值，求m的取值范圍．

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定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個數(shù)；
（3）求證：.

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已知，，且直線與曲線相切．
（1）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）（ⅰ）當(dāng)時，求最大的正整數(shù)，使得任意個實數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立；
（ⅱ）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中．
（I）若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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