設(shè)函數(shù)，其中．
（I）若函數(shù)圖象恒過定點P，且點P關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當時，設(shè)，討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

( I ) ；(Ⅱ)當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數(shù)；當m＜0時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(Ⅲ)存在，.

解析試題分析：( I )先求出定點P，然后找出點P關(guān)于直線的對稱點代入，即得到；(Ⅱ)將代入，得到，再討論m的取值范圍，從而得到的單調(diào)性；(Ⅲ)先求出的表達式，再假設(shè)存在P、Q兩點滿足題意，由，討論的范圍，從而得到a的取值范圍為.
試題解析：( I ) 令，則，即函數(shù)圖象恒過定點P (2，0)    (1分)
∴P (2，0)關(guān)于直線的對稱點為(1，0)       (2分)
又點(1，0)在的圖象上，∴，∴      (3分)
(Ⅱ) ∵且定義域為      (4分)
∴    (5分)
∵x＞0，則x＋1＞0　
∴當m≥0時，此時在(0，＋∞)上為增函數(shù).      (6分)
當m＜0時，由得，由得
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).      (7分)
綜上，當m≥0時，在(0，＋∞)上為增函數(shù).
當m＜0時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).   (8分)
(Ⅲ)由( I )知，，假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題意，則P、Q兩點只能在軸兩側(cè)，設(shè)，則，
因為△OPQ(O為原點)是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，
，即①
（1）當時，，此時方程①為，化簡得.此方程無解，滿足條件的P、Q不存在.
(2)當時，，此時方程①為，
即.
設(shè)，則，
顯然當時，，即在上為增函數(shù)，所以的值域為.
所以當時方程①總有解.
綜上，存在P、Q兩點滿足題意，則a的取值范圍為.
考點：1.點關(guān)于直線對稱；2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)的單調(diào)性與值域.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設(shè)．

(I)將（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

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已知函數(shù)
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極大值和極小值；
（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍.

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已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .
(1)設(shè)，求函數(shù)的最值；
(2)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

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已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）,證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)若對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍;
（3）若，的三個頂點在函數(shù)的圖象上，且，、、分別為的內(nèi)角A、B、C所對的邊。求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)：
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對于任意的，若函數(shù)在 區(qū)間上有最值，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函數(shù)h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達式，若不存在，說明理由：
3）數(shù)列{}中，a1＝1，＝g（）（n≥2），求證：＜＜＜1且＜．

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