Question

已知動圓P經(jīng)過點F（2，0），且與直線x=-2相切．
（1）求動圓的圓心P的軌跡M的方程；
（2）若A，B，C，D是軌跡M上的四個點，且滿足

OF

=m

OA

+n

OB

，

OF

=r

OC

+s

OD

，

FA

•

FC

=0，其中O為原點，m，n，r，s∈R，且m+n=r+s=1，試判斷以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量的基本定理及其意義

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由圓心到切線的距離等于圓的半徑可知動圓的圓心P的軌跡為以F為焦點，以x=-2為準線的拋物線，則拋物線方程可求；
（2）由共線向量基本定理可得AB，CD為經(jīng)過拋物線焦點F的兩條直線，結(jié)合

FA

•

FC

=0，可知兩直線互相垂直，
設直線AB的方程為：x=my+2（m＜0），和拋物線方程聯(lián)立得到A，B兩點縱坐標的和，由弦長公式求得|AB|，同理求得|CD|，代入四邊形的面積公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）設動圓圓心P（x，y），由題意可知P點到F點的距離等于到直線x=-2的距離，
∴動圓的圓心P的軌跡為以F為焦點，以x=-2為準線的拋物線，
則其軌跡M的方程為y²=8x；
（2）由

OF

=m

OA

+n

OB

，

OF

=r

OC

+s

OD

，且m+n=r+s=1可知，
AB，CD為經(jīng)過拋物線焦點F的兩條直線，
又

FA

•

FC

=0，
可知兩直線互相垂直，
∵F（2，0），故設直線AB的方程為：x=my+2（m＜0），
聯(lián)立拋物線方程y²=8x，消元可得：y²-8my-16=0，
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+4=m（y₁+y₂）+8=8m•m+8=8（m²+1）．
∵CD⊥AB，∴CD直線的方程為：x=-

1

m

y+1，
同理|CD|=8[（-

1

m

）²+1]
從而S_{四邊形ABCD}=

1

2

|AB||CD|=

1

2

•64•（m²+1）（

1

m2

+1）
=32（2+m2+

1

m2

）≥32（2+2

m2• 1 m2

）=128．（當m=-1時取等號）．
因此，以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積有最小值，最小值為32，此時直線AB的斜率為-1．

點評：本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的關系，訓練了共線向量基本定理在解題中的應用，這里設直線方程的方法顯得格外靈活，是中檔題．