Question

如圖四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，△ABC為邊長是2的正三角形，BC=BE=2CD，BE⊥BC，CD∥BE．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取BC中點H，連結AH和EH，EH和BD交于N點，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證；
（2）取AC中點K，連結DK、BK，由面面垂直的性質(zhì)和判定定理，得到BK⊥平面ACD，△AKD是△ABD在平面ACD上投影，設二面角B-AD-C平面角為θ，則S_△AKD=S_△ABDcosθ，分別求出三角形AKD和三角形ABD的面積即可．

解答： （1）證明：取BC中點H，連結AH和EH，EH和BD交于N點，
∵平面ABC⊥平面BCDE，△ABC為正△，AH⊥BC，
∴AH⊥平面BEDC，∵BD?平面BEDC，
∴AH⊥BD，在平面BEDC中，
∵BE=BC=2，BF=CD=1，∠BCD=∠EBH=90°，
∴RT△BDC≌RT△EHB，即有∠CBD=∠BEH，
∠CBD+∠DBE=90°，∴∠DBE+∠BEH=90°，∴∠BNE=90°，
∴EH⊥BD，∵AH∩EH=H，∴BD⊥平面AEH，∵AE?平面AEH，
∴BD⊥AE；
（2）解：取AC中點K，連結DK、BK，
∵平面ABC⊥平面BEDC，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，
∵△ABC是正△，∴BK⊥AC，
∴BK⊥平面ACD，△AKD是△ABD在平面ACD上投影，
設二面角B-AD-C平面角為θ，則S_△AKD=S_△ABDcosθ，
AD=

AC2+CD2

=

5

，BD=

5

，則△ABD是等腰△，
在△ABD上作DO⊥AB，O是垂足，DO=

5-1

=2，
則S_△ABD=

1

2

AB•DO=

1

2

×2×2=2，S_△AKD=

1

2

S_△ACD=

1

2

×

1

2

CD•AC=

1

4

×1×2=

1

2

，
即有

1

2

=2cosθ，cosθ=

1

4

．
則二面角B-AD-C的余弦值為

1

4

．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定定理及運用，考查空間二面角的求法，注意運用面積射影定理，考查運算能力，射影中檔題．