Question

9．已知點P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，焦距為2c，O為坐標(biāo)原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且MF₁⊥MP，則OM的取值范圍為（0，c）．

Answer 1

分析 利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點的橫坐標(biāo)表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

解答 解：如圖，延長PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁N中點，
連接OM，∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF₂||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）中，設(shè)P點坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=2e|x₀|
∵P點在橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵當(dāng)|x₀|=a時，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故答案為：（0，c）．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．