Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），當x∈（-1，3]時，f（x）=

1-x2 ，x∈(-1，1] t(1-|x-2|)，x∈(1，3]

，其中t＞0，若方程f（x）=

x

3

恰有3個不同的實數(shù)根，則t的取值范圍為（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ）
• B、（

  2

  3

  ，2）
• C、（

  4

  3

  ，3）
• D、（

  2

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的周期性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：確定f（x）的周期為4，x∈（5，6）時，f（x）=t（x-5），x∈（6，7）時，f（x）=t（7-x），再利用t＞0，f（x）=

x

3

恰有3個不同的實數(shù)根，可得t（2-1）＞

2

3

，t（6-1）＜2，即可求出t的取值范圍．

解答： 解：由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）的周期為4，
∵x∈（1，2）時，f（x）=t（x-1），x∈（2，3）時，f（x）=t（3-x），
∴x∈（5，6）時，f（x）=t（x-5），x∈（6，7）時，f（x）=t（7-x），
∵t＞0，f（x）=

x

3

恰有3個不同的實數(shù)根，
∴t（2-1）＞

2

3

，t（6-1）＜2
∴2＞t＞

2

3

，
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的周期性、根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查學生的計算能力，屬于中檔題．