Question

下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=sinx
• C、f（x）=

  lnx

  x

• D、f（x）=-x|x|

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：首先分別求出函數(shù)的定義域，如果共有原點對稱，再利用奇偶函數(shù)的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．

解答： 解：對于A，函數(shù)的定義域為R，并且f′（x）=3x²≥0，所以此函數(shù)是奇函數(shù)，但是增函數(shù)；
對于B，定義域是R，并且sin（-x）=-sinx，是奇函數(shù)，但是周期函數(shù)，在R上不單調(diào)；
對于C，定義域是{x|x＞0}，關(guān)于原點不對稱，所以是非奇非偶的函數(shù)；
對于D，定義域為R，f（-x）=x|x|=-f（x）所以是奇函數(shù)，并且f（x）=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，結(jié)合二次函數(shù)可知此函數(shù)在R上是減函數(shù)．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，那么此函數(shù)就是非奇非偶的函數(shù)；如果關(guān)于原點對稱，利用定義，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．