Question

觀察下列等式：
①sin2α=2cosαsinα；②sin3α=（4cos²α-1）sinα；③sin4α=（8cos³α-4cosα）sinα；
④sin5α=（16cos⁴α-12cos²α+1）sinα；⑤sin6α=（32cos⁵α-32cos³α+6cosα）sinα；
⑥sin7α=（64cos⁶α-80cos⁴α+24cos²α-1）sinα；⑦sin8α=（pcos⁷α+mcos⁵α+ncos³α+qcosα）sinα．
可以推測，m+n=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：計算題,推理和證明

分析：由已知中的前幾個等式，分析各項系數(shù)的變化規(guī)律，進而可得第七個式子中的系數(shù)，進而得到答案．

解答： 解：觀察下列等式：
①sin2α=2cosαsinα；
②sin3α=（4cos²α-1）sinα；
③sin4α=（8cos³α-4cosα）sinα；
④sin5α=（16cos⁴α-12cos²α+1）sinα；
⑤sin6α=（32cos⁵α-32cos³α+6cosα）sinα；
…
歸納可得：當?shù)仁阶筮叺慕菫閗α?xí)r，
括號內(nèi)第一項的系數(shù)為2^k-1，k=2n時，則最后一項的系數(shù)為（-1）ⁿ，
k=2n-1時，最后一項系數(shù)為2n•（-1）ⁿ⁺¹，
各項系數(shù)和為：k，
對于⑦，sin8α=（pcos⁷α+mcos⁵α+ncos³α+qcosα）sinα．
則p=2⁷=128，q=（-1）⁴=1．且p+m+n+q=8，
則m+n=8-128-1=--121．
故答案為：-121．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．