Question

A是△BCD所在平面外的點(diǎn)，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求AB與平面BCD所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知可得△ABC≌△ABD，BC=BD．取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，可得CD⊥AM，CD⊥BM，可得CD⊥平面ABM，即可證明．
（2）過點(diǎn)A作AO⊥BM于點(diǎn)O，由CD⊥平面ABM，可得平面BCD⊥平面ABM，于是AO⊥平面BCD，因此∠ABO是AB與平面BCD所成角．在△ABC中，利用余弦定理可得BC．在RT△BCM中，BM=

BC2-CM2

．再利用余弦定理可得cos∠ABM=

AB2+BM2-AM2

2AB•BM

．

解答： （1）證明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．
∴△ABC≌△ABD，BC=BD．
取CD的中點(diǎn)M，連接AM，BM，則CD⊥AM，CD⊥BM，
又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，
∴AB⊥CD．
（2）解：過點(diǎn)A作AO⊥BM于點(diǎn)O，∵CD⊥平面ABM，
∴平面BCD⊥平面ABM，
∴AO⊥平面BCD，
∴∠ABO是AB與平面BCD所成角．
在△ABC中，BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=7，
∴BC=

7

．
∵△ACD是等邊三角形，∴AM=

3

．
在RT△BCM中，BM=

BC2-CM2

=

6

．
在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM=

AB2+BM2-AM2

2AB•BM

=

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查了空間線面面面位置關(guān)系的判定及其性質(zhì)、空間角的求法、余弦定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．