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12.己知函數(shù)f(x)=3sinxcosx+sin2x+12(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-\frac{π}{12},\frac{5π}{12}]時,求函數(shù)f(x)的最小值和最大值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性得出結(jié)論.
(2)由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的最小值和最大值.

解答 解:(1)f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}
=sin(2x-\frac{π}{6})+1 的最小正周期為T=\frac{2π}{2}=π,
令2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},求得kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3},可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-\frac{π}{6}+kπ,\frac{π}{3}+kπ](k∈Z)
(2)當(dāng)x∈[-\frac{π}{12},\frac{5π}{12}]時,2x-\frac{π}{6}∈[0,\frac{2π}{3}],
故當(dāng)2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}時,f{(x)_{max}}=f(\frac{π}{3})=2
當(dāng)2x-\frac{π}{6}=0 時,f(x)min=sin0+1=1.

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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