Question

我國(guó)高鐵技術(shù)發(fā)展迅速，鐵道部門計(jì)劃在A，B兩城市之間開(kāi)通高速列車，假設(shè)列車在試運(yùn)行期間，每天在8：00～9：00，9：00～10：00兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)各發(fā)一趟由A城開(kāi)往B城的列車（兩車發(fā)車情況互不影響），A城發(fā)車時(shí)間及概率如下表所示：

發(fā)車時(shí)間	8：10	8：30	8：50	9：10	9：30	9：50
概率	1 6	1 3	1 2	1 6	1 3	1 2

若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城，他們到達(dá)A城火車站的時(shí)間分別是周六的8：00和周日的8：20．（只考慮候車時(shí)間，不考慮其他因素）
（1）求甲、乙兩人候車時(shí)間相等的概率；
（2）設(shè)乙候車所需時(shí)間為隨機(jī)變量X，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲的候車時(shí)間分別是10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為p1(10)=

1

6

，p1(30)=

1

3

，p1(50)=

1

2

．乙的候車時(shí)間分別是10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為p2(10)=

1

3

，p2(30)=

1

2

，p2(50)=

1

6

×

1

6

=

1

36

．由此能求出甲、乙兩人候車時(shí)間相等的概率．
（2）X的所有可能取值為10，30，50，70，90分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）甲的候車時(shí)間分別是10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為：
p1(10)=

1

6

，p1(30)=

1

3

，p1(50)=

1

2

．
乙的候車時(shí)間分別是10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為：
p2(10)=

1

3

，p2(30)=

1

2

，p2(50)=

1

6

×

1

6

=

1

36

．
∴甲、乙兩人候車時(shí)間相等的概率P=

1

6

×

1

3

+

1

3

×

1

2

+

1

2

×

1

36

=

17

72

．（6分）
（2）X的所有可能取值為10，30，50，70，90（單位：分鐘），
∴X的分布列為：

X	10	30	50	70	90
P	1 3	1 2	1 36	1 18	1 12

E（X）=10×

1

3

+30×

1

2

+70×

1

18

+90×

1

12

=

280

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．