已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:①定義域?yàn)镽;②對(duì)任意x∈R,都有f(x+2)=2f(x);③當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)=-|x|+1.則方程f(x)=log4|x|在區(qū)間[-7,7]內(nèi)的解個(gè)數(shù)是(  )
A、10B、9C、8D、12
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專(zhuān)題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:令-3≤x≤-1則-1≤x+2≤1,由f(x+2)=2f(x),求出f(x),同理求出-5≤x≤-3、-7≤x≤-5、1≤x≤3、3≤x≤5、5≤x≤7的函數(shù)f(x)的解析式,并畫(huà)出圖象,再畫(huà)出y=log4|x|的圖象,觀察得出交點(diǎn)個(gè)數(shù),即為方程解的個(gè)數(shù).
解答: 解:令-3≤x≤-1則-1≤x+2≤1,
∵f(x+2)=2f(x),∴f(x)=
1
2
(1-|x+2|)(-3≤x≤-1)①
令-5≤x≤-3則-1≤x+4≤1,f(x+4)=1-|x+4|,又f(x+4)=2f(x+2)=4f(x),
∴f(x)=
1
4
(1-|x+4|)(-5≤x≤-3)②
則-7≤x≤-5時(shí),f(x)=
1
8
(1-|x+6|)③
當(dāng)1≤x≤3時(shí),-1≤x-2≤1,f(x-2)=1-|x-2|
又f(x-2)=
1
2
f(x),即f(x)=2(1-|x-2|),
同理3≤x≤5時(shí),
f(x)=4(1-|x-4|)④
當(dāng)5≤x≤7時(shí),f(x)=8(1-|x-6|)⑤
如圖所示f(x)的圖象,
再畫(huà)出y=log4|x|的圖象,觀察得出交點(diǎn)數(shù)為8,
即方程f(x)=log4|x|在區(qū)間[-7,7]內(nèi)的解個(gè)數(shù)是8.
故選:C.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的解析式的求法,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),以及函數(shù)的圖象的畫(huà)法,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
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雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).若雙曲線上存在點(diǎn)P使
sin∠PF1F2
sin∠PF2F1
=
a
c
,則該雙曲線的離心率的取值范圍為(  )
A、(1,
2
B、(1,2)
C、(1,
5
+1
2
D、(1,
2
+1)

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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為( 。
A、y=±3x
B、y=±2x
C、y=±(
3
+1)x
D、y=±(
3
-1)x

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已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a>0),與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△ABC的面積等于1,則a=(  )
A、
2
B、1
C、
2
2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),若雙曲線C上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|:|PF2|=2:1且∠F1PF2=90°,則雙曲線C的漸近線方程是( 。
A、x±2y=0
B、2x±y=0
C、5x±4y=0
D、4x±5y=0

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已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,
2
2
),試求出此函數(shù)的解析式,并寫(xiě)出其定義域,判斷奇偶性,單調(diào)性.

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我國(guó)高鐵技術(shù)發(fā)展迅速,鐵道部門(mén)計(jì)劃在A,B兩城市之間開(kāi)通高速列車(chē),假設(shè)列車(chē)在試運(yùn)行期間,每天在8:00~9:00,9:00~10:00兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)各發(fā)一趟由A城開(kāi)往B城的列車(chē)(兩車(chē)發(fā)車(chē)情況互不影響),A城發(fā)車(chē)時(shí)間及概率如下表所示:
發(fā)車(chē)時(shí)間8:108:308:509:109:309:50
概率
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
2
若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城,他們到達(dá)A城火車(chē)站的時(shí)間分別是周六的8:00和周日的8:20.(只考慮候車(chē)時(shí)間,不考慮其他因素)
(1)求甲、乙兩人候車(chē)時(shí)間相等的概率;
(2)設(shè)乙候車(chē)所需時(shí)間為隨機(jī)變量X,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

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