Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．若雙曲線上存在點(diǎn)P使

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（1，2）
• C、（1，

  5 +1

  2

  ）
• D、（1，

  2

  +1）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，得e=

c

a

=1+

2a

|PF2|

；
由|PF₂|＞c-a，得e＜1+

2

e-1

，結(jié)合e＞1，求出e的取值范圍．

解答： 解：由雙曲線的定義與幾何性質(zhì)以及正弦定理得，
e=

c

a

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

=

2a+|PF2|

|PF2|

=1+

2a

|PF2|

；
∵|PF₂|＞c-a，即e＜1+

2

e-1

，∴e²-2e-1＜0；
又∵e＞1，∴1＜e＜

2

+1；
∴離心率e的取值范圍是（1，

2

+1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)可以結(jié)合圖形進(jìn)行解答問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．