Question

20．已知$f（x）=3sin（{ωx+\frac{π}{3}}）$（ω＞0），$f（{\frac{π}{6}}）=f（{\frac{π}{3}}）$，且f（x）在區(qū)間$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}）$上有最小值，無最大值，則ω=$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數(shù)的圖象特征可得當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值，
即ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，由此求得ω的值．

解答 解：∵$f（x）=3sin（{ωx+\frac{π}{3}}）$（ω＞0），$f（{\frac{π}{6}}）=f（{\frac{π}{3}}）$，
∴f（x）的圖象關于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$ 對稱，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴ω=4k+$\frac{2}{3}$；
又f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上有最小值無最大值，
故當x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最小值，
故有有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
∴ω=8k+$\frac{14}{3}$．
因為$\frac{π}{4}$恰好為區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）的中點，故$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤12，
故只有當k=0時，ω=$\frac{14}{3}$滿足條件，
故答案為：$\frac{14}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了理解與運算能力，是綜合性題目．