Question

若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²+ax+b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，記點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)镾．
（1）求區(qū)域S的面積；
（2）設(shè)z=2a-b，求z的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與零點(diǎn)存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（3）＞0．
由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，利用三角形的面積公式即可算出該區(qū)域的面積；
（2）利用不等式線性規(guī)劃求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，即

b＞0 1+a+b＜0 9+3a+b＞0

．
作出滿足上述不等式組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a，b）所在的平面區(qū)域，

得到△ABC及其內(nèi)部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，0），B（-4，3），C（-1，0），
，即為點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積．
S_△ABC=

1

2

×2×3=3
（2）z=2a-b，
a=-1，b=0，z=-2，
a=-4，b=3，z=-11，
∴-11≤z≤-2，

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有參數(shù)a、b的一元二次方程滿足的條件，求參數(shù)a、b滿足的不等式組，并依此求關(guān)于a、b式子的取值范圍．著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．