Question

【題目】橢圓的離心率是，過點(diǎn)做斜率為的直線，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，若存在求出的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析。

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為．有根據(jù)題意得到橢圓過點(diǎn)，將坐標(biāo)代入方程后求得，進(jìn)而可得橢圓的方程．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，則點(diǎn)為線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．由題意得設(shè)出直線的方程，借助二次方程的知識求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線的方程，在求出點(diǎn)的坐標(biāo)后根據(jù)基本不等式可求出的取值范圍．

（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的離心率為，

所以，整理得．

故橢圓的方程為．

由已知得橢圓過點(diǎn)，

所以，解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意得直線的方程為．

由消去整理得，

其中．

設(shè)，的中點(diǎn)

則，

所以

∴，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

假設(shè)在軸存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，

則點(diǎn)為線段的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，則過點(diǎn)且與垂直的直線方程，

令，則得．

若，則，

∴．

若，則，

∴．

②當(dāng)時(shí)，則有．

綜上可得．

所以存在點(diǎn)滿足條件,且m的取值范圍是.