Question

【題目】北京、張家口2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件．

（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？

（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到元．公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

Answer 1

【答案】（1）40元；（2）銷售至少達(dá)10.2萬件，每件定價(jià)30元.

【解析】

（1）設(shè)每件定價(jià)為x元，可得提高價(jià)格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；

（2）依題意，x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等價(jià)于x＞25時(shí)，ax有解，利用基本不等式，我們可以求得結(jié)論．

（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得（8）x≥25×8，

整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．

（2）依題意知當(dāng)x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，

等價(jià)于x＞25時(shí)，ax有解．

由于x≥2 10，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝30時(shí)等號(hào)成立，所以a≥10.2．

當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．