Question

【題目】對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使=成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).

⑴當(dāng)時(shí),求的不動(dòng)點(diǎn);

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為-1,2；（2）-4<b<4或4<b<6；（3）0<a<2.

【解析】試題分析：本題為新定義信息題，把a=2,b=-2代入后得到函數(shù)f(x)的解析式，假設(shè)存在不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義，滿足，解方程求出不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，說明方程在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根；同理解決第三步.

試題解析：

(1)當(dāng)a=2,b=-2時(shí),f(x)=2x2-x-4

∴ 由f(x)=x得x2-x-2=0, ∴ x=-1或x=2.

∴ f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為-1,2.

(2) 當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2x2+(b+1)x+b-2,

由題意得f(x)=x在(-2,3)內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),

即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)內(nèi)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

設(shè) g(x)=2x2+bx+b-2,

∴ 只須滿足 ∴

∴ -4<b<4或4<b<6

(3)由題意得:對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,方程 ax2+bx+b-2=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

∴ ∴ b2-4ab+8a>0對(duì)b∈R恒成立.

∴16a2-32a<0 ∴ 0<a<2.