Question

7．已知商場銷售某種茶杯購買人數(shù)n與茶杯標價x元滿足關系式：n=-x+b（b為常數(shù)）．把購買人數(shù)為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為每個30元．現(xiàn)在這種茶杯的成本價是10/個，商場以高于成本價的相同價格（標價）出售． 問：
（1）求b的值；
（2）商場要獲取最大利潤，茶杯的標價應定為每件多少元？
（3）通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么茶杯的標價為每個多少元？

Answer 1

分析 （1）由n=-x+b及無效價格為30/個，求出b；
（2）求出利潤函數(shù)，由二次函數(shù)求最值；
（2）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由n=-x+b及無效價格為30/個，得0=-30+b，∴b=30．       （2分）
（2）由（1），得n=-x+30．設茶杯利潤為y元，則                           （3分）
y=（x-10）（-x+30）=-x²+40x-300=-（x-20）²+100，x∈（10，30]．          （5分）
當x=20時，y_max=100．                                                   （6分）
故商場要獲取最大利潤，茶杯的標價應定為每個20元．                           （7分）
（3）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即x²-40x+375=0．          （10分）
解得x₁=15，x₂=25．                                                       （11分）
故商場要獲取最大利潤的75%，根據(jù)客觀實際，每個標價應為15元．             （12分）

點評 本題考查了學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力及函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．