Question

在直角坐標系xOy中，動點P到兩點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之和為4，設P點軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）曲線C上不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足：

AF2

=λ

F2B

，x₁+x₂=

1

2

，求λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得C是一個橢圓，焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），長軸為4，由此能求出C的方程．
（Ⅱ）設AB：x=my+1，與橢圓聯立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出λ的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵動點P到兩點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之和為4，
∴C是一個橢圓，焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），長軸為4，
故C：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）設AB：x=my+1，與橢圓聯立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韋達定理y1+y2=-

6m

3m2+4

，…（7分）
x1+x2=m(y1+y2)+2=

8

3m2+4

=

1

2

，
解得m=±2.

AF2

=λ

F2B

⇒λ=-

y1

y2

．
不妨設m=2（m=-2是對稱的），
則16y²+12y-9=0，
解得y1=

-3+3 5

8

，y2=

-3-3 5

8

，
∴λ=

3± 5

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．