【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明:；

（Ⅲ）求證:對任意正整數(shù)，都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求，再對 進行討論即可.

（Ⅱ）由題知即證，構(gòu)造新函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)只需即得證.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得證.

（Ⅰ）易得，函數(shù) ，

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

②當(dāng)時，令，解得 ．

當(dāng)時，，所以，

所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以，

所以在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當(dāng) 時，.

要證明，

即證，即. 即.

設(shè)則

令得，.

當(dāng)時，，

當(dāng)時，.

所以為極大值點，也為最大值點

所以.

即.

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.

令，

則 ，

所以

,

即

所以.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】精準扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準扶貧的工作中，準備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進行二次加工后進行推廣促銷，預(yù)計該批產(chǎn)品銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與推廣促銷費萬元之間的函數(shù)關(guān)系為（其中推廣促銷費不能超過5千元）.已知加工此農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬元（不包括推廣促銷費用），若加工后的每件成品的銷售價格定為元/件.

（1）試將該批產(chǎn)品的利潤萬元表示為推廣促銷費萬元的函數(shù)；（利潤=銷售額-成本-推廣促銷費）

（2）當(dāng)推廣促銷費投入多少萬元時，此批產(chǎn)品的利潤最大？最大利潤為多少？

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【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，又點，，，.

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（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.

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(2)求函數(shù)f(x)的極值．

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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓E：（）過點，其心率等于.

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（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點，動點M滿足，且橢圓E于點P.

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②設(shè)與以為直徑的圓的另一交點為Q，求證：直線經(jīng)過定點.

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【題目】在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】根據(jù)指令，機器人在平面上能完成下列動作：如圖，先從原點O沿正東偏北方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但何時改變方向不定.假定機器人行走速度為10m/min，則機器人行走2min時的可能落點區(qū)域的面積是__________.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，求證：對任意，恒成立.

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男

女

總計

無

40

35

75

有

15

10

25

總計

55

45

100

附：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

據(jù)此表，可得（ ）.

A.認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性不足

B.認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過

C.認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過

D.認為機動車駕駛技術(shù)與性別有關(guān)的可靠性超過

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