【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓的左焦點為，左準線為為橢圓上任意一點，直線，垂足為，直線與交于點．

（1）若，且，直線的方程為．①求橢圓的方程；②是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

（2）設直線與圓交于兩點，求證：直線均與圓相切．

【答案】（1）①；②不存在；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)左準線方程求出參數(shù)a，從而得出橢圓方程；

②設出，根據(jù)點在橢圓上且得出關于的方程組，根據(jù)解的情況，得出結果；

（2）設點，，根據(jù),求出，對進行轉化，借助在圓上，進而得出結果.

解：（1）①因為直線的方程為，

所以

因為，

所以，解得或

因為，

所以，，

橢圓方程為.

②設，則，即，

當或時，均不符合題意；

當或時，直線的斜率為，

直線的方程為，

故直線的方程為，

聯(lián)立方程組，解得，

所以，

因為，

故，

即或

方程的根為，

因為，故無解；

方程的，故無解，

綜上：不存在點P使.

（2）設，

則，，

因為,

所以，

即，

由題意得，所以，

所以

因為，

所以

因為在圓上，所以，即，

故，

所以，

所以直線與圓相切，

同理可證：與圓相切.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四邊形中，，，，與交于點，若平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的大�。�

（3）求異面直線所成的角的大小.

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【題目】如圖所示，三棱錐中，平面平面，平面平面，分別是和邊上的點，且，，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．

（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，側棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點M在側棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

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【題目】某高校在2017年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表：

組號

分組

頻率

第1組

第2組

第3組

第4組

第5組

求出頻率分布表中處應填寫的數(shù)據(jù)，并完成如圖所示的頻率分布直方圖；

根據(jù)直方圖估計這次自主招生考試筆試成績的平均數(shù)和中位數(shù)結果都保留兩位小數(shù)．

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【題目】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓經(jīng)過點.離心率.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若M，N分別是橢圓長軸的左、右端點，動點D滿足，連接MD交橢圓于點Q.問：x軸上是否存在異于點M的定點G，使得以QD為直徑的圓恒過直線QN，GD的交點？若存在，求出點G的坐標；若不存在，說明理由.

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【題目】在①離心率，②橢圓過點，③面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.

設橢圓的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點，已知橢圓的短軸長為，________.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值.

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【題目】已知平面內(nèi)一動點（）到點的距離與點到軸的距離的差等于1，

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與軌跡相交于不同于坐標原點的兩點，求面積的最小值．

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