Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：x²+y²-6x+4y+9=0，圓C₂：（x+m）²+（y+m+5）²=2m²+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（Ⅰ）若m=5時，試求圓C₁與圓C₂的交點個數(shù)；
（Ⅱ）設P為坐標軸上的點，滿足：過點P分別作圓C₁與圓C₂的一條切線，切點分別為T₁、T₂，使得PT₁=PT₂，試求出所有滿足條件的點P的坐標；
（Ⅲ）若斜率為k的直線l平分圓C₁，且滿足直線l與圓C₂總相交，求直線l斜率k的范圍．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）若m=5時，求得兩個圓的圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得兩圓相交，從而得到交點個數(shù)為2個．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），圓C₁與圓C₂的半徑分別為r₁、r₂，由題意得PC12-r12=PC22-r22，化簡得x₀+y₀+1=0，根據(jù)P為坐標軸上的點，求得點P的坐標．
（3）設直線l的方程為：y+2=k（x-3），根據(jù)圓心C₂（-m，-m-5）到直線l的距離小于圓C₂的半徑，化簡可得

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

．記y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，求得y的最小值為1，可得 

|k-1|

k2+1

＜1，從而求得k的范圍．

解答： 解：（1）若m=5時，圓C₁即：（x-3）²+（y+2）² =4，圓C₂：（x+5）²+（y+10）²=100，圓心距C1C2=8

2

∈(8，12)，
∴兩圓相交，交點個數(shù)為2個．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），圓C₁與圓C₂的半徑分別為r₁、r₂，由題意得PC12-r12=PC22-r22，
即 [(x0-3)2+(y0+2)2]-4=[(x0+m)2+(y0+m+5)2]-(2m2+8m+10)，化簡得x₀+y₀+1=0，
因為P為坐標軸上的點，所以點P的坐標為（0，-1）或（-1，0）．
（3）依題意可知，直線l經(jīng)過點C₁ （3，-2），設直線l的方程為：y+2=k（x-3），化簡得kx-y-3k-2=0，
則圓心C₂（-m，-m-5）到直線l的距離為

|k-1|•|m+3|

k2+1

，又圓C₂的半徑為

2m2+8m+10

，
所以，“直線l與圓C₂總相交”等價于“?m∈R，且m≠-3，

|k-1|•|m+3|

k2+1

＜

2m2+8m+10

，即

|k-1|

k2+1

＜

2m2+8m+10 (m+3)2

①”．
記y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，整理得（y-2）m²+2（3y-4）m+9y-10=0，
當y=2時，m=-2；
當y≠2時，判別式△=[2（3y-4）]²-4（y-2）（9y-10）≥0，解得y≥1．
綜上得y=

2m2+8m+10

(m+3)2

，m≠-3的最小值為1，
所以，①式等價于

|k-1|

k2+1

＜1，等價于k＞0．

點評：本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系的判定，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．