Question

已知直三棱柱BCE-ADG，底面△ADF中，AD⊥DF，DA=DF=DC，其中M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，G是DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：GN⊥AC；
（2）當(dāng)DC=

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DF時(shí)，在邊AD上是否存在一點(diǎn)，使得GP∥平面FMC？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證GN⊥AC，只要證明AC垂直于平面FDN即可，由DF垂直于底面，底面是正方形即可得到答案；
（2）由DC=

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DF時(shí)，在邊AD上存在一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，此時(shí)P為AD的中點(diǎn)．在根據(jù)線面平行、面面平行去證即可．

解答： 解：（1）AD⊥DF，DF=AD=DC，
連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN，
又FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，且AD∩CD=D．
所以FD⊥平面ABCD，所以AC⊥平面FDN．
GN?平面FDN，
∴GN⊥AC．
（2）當(dāng)DC=

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DF時(shí)，在邊AD上存在一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，此時(shí)P為AD的中點(diǎn)．
證明如下：在DC上取點(diǎn)S，使DS=

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DC．連接GS．
因?yàn)镈G=

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DF，DS=

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DC，
所以GS∥FC，
∴GS∥平面FMC，
延長(zhǎng)BA至點(diǎn)Q，使得AQ=

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AM．連接SQ交AD與點(diǎn)P，
可得PS∥CM，
∴PS∥平面EMC，
由GS∩PS=S，
∴PS∥平面EMC，
由GS∩PS=S，
∴平面GSP∥平面EMC，
又GP?平面GSP，
∴GP∥平面FMC

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，綜合考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．