Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁垂直于x軸的直線與E相交于A，B 兩點(diǎn)，且|AB|=3

2

，離心率為

2

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過焦點(diǎn)F₂作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N使得D，M，N三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出A的縱坐標(biāo)，利用|AB|=3

2

，建立方程，再利用離心率為

2

2

，求出幾何量，即可求出橢圓E的方程；
（2）直線l：y=k（x-3）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，由已知M（x₁，-y₁），設(shè)存在定點(diǎn)N（t，0），使得D，M，N三點(diǎn)共線，則

y2

x2-t

=

-y1

x1-t

，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，x_A=-c，∴

(-c)2

a2

+

y2

b2

=1，
∴y=±

b2

a

，
∴|AB|=2•

b2

a

=3

2

，
∵

c

a

=

2

2

，b²=a²-c²，
∴a=3

2

，b=3，
∴橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）直線l：y=k（x-3）（k≠0），代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-18=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18k2-18

1+2k2

，
由已知M（x₁，-y₁），設(shè)存在定點(diǎn)N（t，0），使得D，M，N三點(diǎn)共線，
則

y2

x2-t

=

-y1

x1-t

，
∴t=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=6，
∴在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N（6，0），使得D，M，N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．