設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),對(duì)任意x∈R,都有0<f(x)<1且0<f′(x)<1.
(Ⅰ)求證:函數(shù)F(x)=f(x)-x有唯一零點(diǎn)x0;
(Ⅱ)若數(shù)列{xn}滿足xn+1=f(xn)(n∈N*)且x1>x0,證明:xn>x0(n∈N*)且數(shù)列{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列.
考點(diǎn):數(shù)列與函數(shù)的綜合,函數(shù)的零點(diǎn),數(shù)列的函數(shù)特性
專題:計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)說明單調(diào)性,一負(fù)一正,則有唯一的零點(diǎn);(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答: 證明:(Ⅰ)∵F′(x)=f′(x)-1,
又∵0<f′(x)<1,∴F′(x)<0.
則函數(shù)F(x)在R上為減函數(shù),
又∵F(0)=f(0)-0>0,
F(2)=f(2)-2<0,
則函數(shù)F(x)=f(x)-x有唯一零點(diǎn)x0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x0)=x0;
∵0<f′(x)<1.x∈R,
∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
①∵x1>x0,∴f(x1)>f(x0);又∵xn+1=f(xn);
即x2>x0
②假設(shè)xn-1>x0,則f(xn-1)>f(x0),
即xn>x0
故xn>x0(n∈N*).
又∵xn+1-xn=f(xn)-xn=F(xn);
且函數(shù)F(x)在R上為減函數(shù),又xn>x0,
∴xn+1-xn=F(xn)<F(x0)=0,
∴xn+1<xn;
∴數(shù)列{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法.屬于難題.
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在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知
b
sinB
=
3c
sinA
,a=3,cosB=
2
3

(1)求b的值;
(2)求△ABC的面積.

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已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=
1
2
(an+
1
an
).
(1)寫出a1,a2,a3;             
(2)猜想an,并給出證明.

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已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+1)在x=ln2處的切線的斜率為1.(e為無理數(shù),e=2.71828…)
(Ⅰ)求a的值及f(x)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥mx2恒成立,求m的取值范圍.

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對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,總有f(xy)-f(x)=f(y)(xy≠0),求證:
(1)f(1)=0;
(2)f(
1
x
)=-f(x);  
(3)f(
x
y
)=f(x)-f(y).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
x(x+4),(x≥0)
x(x-4),(x<0)
,若f(1)+f(a+1)=5,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,我市某地水費(fèi)按下表規(guī)定收。
每戶每月用水量不超過10噸(含10噸)超過10噸的部分
水費(fèi)單價(jià)1.30元/噸2.00元/噸
(1)某用戶用水量為x噸,需付水費(fèi)為y元,則水費(fèi)y(元)與用水量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式是;
(2)若小華家四月份付水費(fèi)17元,問他家四月份用水多少噸?
(3)已知某住宅小區(qū)100戶居民五月份交水費(fèi)1682元,且該月每戶用水量均不超過15噸(含15噸),求該月用水量不超過10噸的居民最多可能有多少戶?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A?B,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若f(x)的定義域?yàn)閇-3,6],則g(x)=f(x)+2f(-x)的定義域是
 

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