Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（xy）-f（x）=f（y）（xy≠0），求證：
（1）f（1）=0；
（2）f（

1

x

）=-f（x）；  
（3）f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件，令x=y=1，即可求出f（1）；
（2）令xy=1，則y=

1

x

，結(jié)合（1），即可得證；
（3）由（2）得，f（

1

y

）=-f（y），再由條件即可得證．

解答： 證明：（1）由于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（xy）-f（x）=f（y）（xy≠0），
令x=y=1，得f（1）-f（1）=f（1），即f（1）=0；
（2）令xy=1，則y=

1

x

，則f（1）-f（x）=f（

1

x

），由于f（1）=0，
則f（

1

x

）=-f（x）；
（3）由（2）得，f（

1

y

）=-f（y），
則f（x•

1

y

）-f（x）=f（

1

y

）=-f（y）．
即f（

x

y

）=f（x）-f（y）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵．